Số hữu tỉ hay vô tỉ: Câu hỏi toán học cơ bản từng khiến các thiên tài bế tắc hàng thập kỷ

Bí ẩn ngàn năm: Đi tìm bản chất vô tỉ của những con số

Kể từ thuở sơ khai của toán học, con người luôn tự vấn: liệu một đại lượng có thể biểu diễn qua tỉ số của hai số nguyên? Hai thiên niên kỷ rưỡi trước, trường phái Pythagoras tin rằng vạn vật đều là các tỉ lệ số học hài hòa giữa các số nguyên. Niềm tin ấy sụp đổ khi một thành viên chứng minh căn bậc hai của 2 không phải số hữu tỉ; truyền thuyết kể rằng người này đã bị dìm chết dưới biển để trừng phạt.

Căn bậc hai của 2 chỉ là mở đầu cho cả một thế giới hằng số kỳ thú tuôn trào từ mọi nhánh toán học. Nhiều số nảy sinh từ các bài toán đo lường hình học trực quan, chẳng hạn $\\pi$ gắn liền với chu vi, diện tích và thể tích. Trong khi đó, các con số khác lại phát sinh từ những hàm số giải tích cụ thể, tiêu biểu như $e$ — cơ số của hàm logarit tự nhiên. Henri Cohen từng nhận định: “Đó luôn là một thách thức lớn: Bạn có một con số xuất hiện tự nhiên trong toán học và tự hỏi liệu nó có hữu tỉ hay không. Nếu hữu tỉ, nó không phải là một con số thú vị cho lắm”.

Nhiều nhà toán học áp dụng quan điểm “con dao cạo Occam”: trừ khi có lý do đặc biệt thuyết phục để một con số là hữu tỉ, nhiều khả năng nó phải là số vô tỉ. Giới toán học biết từ lâu rằng phần lớn các số thực trên trục số đều là vô tỉ, nhưng các chứng minh cho từng con số cụ thể lại rất hiếm hoi. Vào những năm 1700, Leonhard Euler chứng minh được $e$ là vô tỉ, và Johann Lambert đã làm điều tương tự đối với $\\pi$. Euler cũng chỉ ra rằng mọi giá trị zeta chẵn — khởi đầu từ $\\zeta(2), \\zeta(4), \\zeta(6)$ trở đi — đều bằng một số hữu tỉ nhân với lũy thừa của $\\pi$, kết quả mà chứng minh trọn vẹn chỉ hoàn tất vào cuối những năm 1800.

Dẫu vậy, trạng thái của nhiều số đơn giản khác, chẳng hạn như $\\pi + e$ hoặc $\\zeta(5)$, đến tận ngày nay vẫn chìm trong màn sương bí ẩn. Có vẻ kỳ lạ khi giới toán học vẫn đang vật lộn với câu hỏi cơ bản như vậy. Nhưng dù tính hữu tỉ là khái niệm sơ đẳng, các nhà nghiên cứu lại có quá ít công cụ hiệu quả để chứng minh một số là vô tỉ, và thông thường các công cụ sẵn có đều bất lực.

Khoảng cách giữa các phân số: Chiếc chìa khóa giải mã số vô tỉ

Khi các nhà toán học chứng minh thành công tính vô tỉ của một con số, bản chất lập luận hầu như luôn dựa trên một đặc tính cơ bản của số hữu tỉ: chúng không thích đứng quá gần nhau trên trục số. Ví dụ, chọn hai phân số có mẫu số lần lượt là 7 và 100. Muốn đo khoảng cách giữa chúng, ta buộc phải quy đồng về mẫu số chung là 700. Khoảng cách giữa hai phân số này tối thiểu luôn là 1/700, bất kể tử số của chúng là gì. Nếu muốn các phân số gần nhau hơn 1/700, lựa chọn duy nhất là phải tăng mẫu số của ít nhất một phân số ban đầu.

Lật ngược lập luận này, nó trở thành tiêu chuẩn vàng để chứng minh tính vô tỉ. Giả sử bạn có số $k$ và muốn biết nó có hữu tỉ hay không. Nếu khoảng cách giữa $k$ và 4/7 nhỏ hơn 1/700, điều đó có nghĩa $k$ không thể có mẫu số từ 100 trở xuống. Tiếp theo, ta tìm phân số mới để loại trừ khả năng $k$ có mẫu số từ 1.000 trở xuống, rồi 10.000 trở xuống và cứ thế tiếp tục. Nếu xây dựng được một dãy phân số vô hạn dần dần loại trừ sạch mọi mẫu số khả dĩ cho $k$, thì $k$ không thể là số hữu tỉ.

Hầu như mọi chứng minh số vô tỉ kinh điển đều đi theo hướng này. Nhưng không thể lấy bất kỳ dãy phân số nào tiến đến $k$ — ta cần các phân số tiến gần đến $k$ cực nhanh so với độ lớn của mẫu số của chúng. Nếu dãy phân số không tiến gần đủ nhanh, ta sẽ chỉ loại trừ được mẫu số đến một giới hạn nhất định thay vì quét sạch tất cả.

Hoàn toàn không có công thức chung nào để lập ra dãy phân số phù hợp. Đôi khi một dãy số thuận lợi sẽ tự tìm đến: số $e$ (xấp xỉ 2,71828) tương đương với tổng chuỗi vô hạn nổi tiếng sau:

$$ \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2 \times 1} + \frac{1}{3 \times 2 \times 1} + \frac{1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} + \cdots $$

Nếu dừng tổng này ở bất kỳ điểm hữu hạn nào, ta lập tức nhận được một phân số. Chỉ cần toán học cấp ba cũng đủ chứng minh dãy phân số này tiến đến $e$ đủ nhanh để loại trừ toàn bộ các mẫu số nguyên khả dĩ.

Tuy nhiên, mẹo này không phải lúc nào cũng hiệu quả. Điển hình như con số của Apéry, $\\zeta(3)$, vốn được định nghĩa là tổng vô hạn:

$$ \frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{4^3} + \cdots $$

Nếu chỉ ngắt tổng này ở mỗi bước hữu hạn, các phân số kết quả không tiến gần đến $\\zeta(3)$ đủ nhanh để áp dụng tiêu chuẩn khoảng cách. Đứng trước thử thách đó, Apéry đã xuất sắc tạo ra một dãy phân số hoàn toàn mới lạ tiến sát $\\zeta(3)$ cực nhanh. Cấu trúc của ông dùng các công cụ toán học từ nhiều thế kỷ trước — điều khiến giới chuyên môn sau này gọi đó là “chứng minh mà Euler từng bỏ lỡ”.

Cơn địa chấn Marseille năm 1978 và Roger Apéry

Tháng 6 năm 1978, tại hội nghị toán học lớn ở Marseille (Pháp), ban tổ chức đã thông báo thay đổi chương trình vào phút chót: trong giờ nghỉ trưa, Roger Apéry sẽ trình bày chứng minh cho một trong những con số nổi tiếng nhất — “zeta của 3”, hay $\\zeta(3)$ — không thể biểu diễn dưới dạng phân số của hai số nguyên, tức là số vô tỉ.

Những người tham dự đều tỏ ra hoài nghi sâu sắc. Hàm zeta Riemann vốn là cấu trúc trung tâm của lý thuyết số, và giới nghiên cứu đã liên tục cố gắng chứng minh tính vô tỉ của $\\zeta(3)$ — giá trị của hàm zeta khi đầu vào là 3 — suốt nhiều thế kỷ. Apéry, khi ấy 61 tuổi, không thuộc nhóm chuyên gia hàng đầu; ông nói giọng địa phương Pháp khá nặng và tính tình nổi tiếng hay tranh cãi gay gắt. Nhiều người ngỡ ông đang bày ra trò lừa phỉnh công phu và kéo đến phòng hội thảo cốt để gây náo loạn.

Buổi thuyết giảng diễn ra vô cùng hỗn loạn. Với rất ít lời giải thích mạch lạc, Apéry viết dồn dập hết phương trình này đến phương trình khác, thậm chí có cả những phép tính chia cho số không. Khi các đồng nghiệp chất vấn những công thức kỳ lạ này từ đâu ra, ông tuyên bố: “Chúng mọc trong vườn nhà tôi”. Thính giả cười giễu cợt, gọi nhau í ới khắp phòng và ném cả máy bay giấy lên bục giảng.

Thế nhưng, Henri Cohen từ Đại học Bordeaux đã rời buổi nói chuyện với niềm tin mãnh liệt rằng Apéry đúng. Cohen lập tức bắt tay vào làm rõ các chi tiết trong lập luận của Apéry; chỉ sau vài tháng miệt mài cùng vài nhà toán học khác, ông đã hoàn tất bản chứng minh trọn vẹn. Khi Cohen báo cáo kết luận tại hội nghị sau đó, một thính giả dưới khán phòng đã lẩm bẩm đầy thán phục: “Một chiến thắng cho người nông dân Pháp”.

Khi chấp nhận chứng minh của Apéry, giới toán học từng kỳ vọng một làn sóng kết quả bùng nổ tiếp theo về tính vô tỉ. Số vô tỉ áp đảo hoàn toàn số hữu tỉ: nếu chọn ngẫu nhiên một điểm trên trục số thực, gần như chắc chắn đó là số vô tỉ. Dù các hằng số toán học không xuất hiện ngẫu nhiên, các nhà nghiên cứu tin rằng phần lớn chúng cũng phải là số vô tỉ. Nhưng ngoại trừ vài số như $\\pi$ và $e$, việc chứng minh cho hầu hết số khác vẫn vô cùng khó khăn. Người ta hy vọng phương pháp của Apéry sẽ mở đường cho các giá trị zeta khác ngoài $\\zeta(3)$.

Wadim Zudilin từ Đại học Radboud chia sẻ: “Mọi người đều tin rằng chỉ mất một hoặc hai năm để chứng minh mọi giá trị zeta đều là số vô tỉ”. Nhưng làn sóng mong đợi đó đã không xuất hiện. Không ai hiểu công thức Apéry bắt nguồn từ đâu. Frank Calegari từ Đại học Chicago nhận xét: “Khi bạn có một chứng minh quá xa lạ, không phải lúc nào cũng dễ dàng để tổng quát hóa, để lặp lại phép màu đó”. Giới toán học đành coi chứng minh của Apéry như một phép màu đơn độc.

Cầu nối kỳ diệu: Hàm L và những bí ẩn hình học

Các nhà toán học luôn khao khát chứng minh tính vô tỉ của những con số “quan trọng” — các số xuất hiện lặp lại trong nhiều công thức và đóng vai trò cầu nối giữa các phân ngành khác nhau. Nổi bật nhất là các giá trị của hàm zeta Riemann và họ hàm L đồng minh. Về cơ bản, hàm zeta Riemann $\\zeta(x)$ biến đổi một số $x$ thành tổng vô hạn quen thuộc:

$$ \frac{1}{1^x} + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \cdots $$

Trong khi đó, các hàm L — tương tự hàm zeta nhưng có hệ số tử số biến thiên — chi phối sự phân bố số nguyên tố trong các hệ thống số phức tạp hơn và giữ vai trò then chốt trong chương trình Langlands nhằm xây dựng “lý thuyết thống nhất lớn” cho toàn bộ toán học. Chẳng hạn, xét một hàm L có các tử số lặp lại theo quy luật 1, -1, 0, 1, -1, 0, ta thu được chuỗi:

$$ \frac{1}{1^x} + \frac{-1}{2^x} + \frac{0}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \frac{-1}{5^x} + \frac{0}{6^x} + \cdots $$

Hàm số này, ký hiệu là $L(x)$, còn xuất hiện đầy bất ngờ trong hình học không gian. Nếu nhân $L(2)$ với một hệ số đại số đơn giản, ta nhận được thể tích của khối tứ diện đều lớn nhất trong hình học hyperbolic (không gian cong đặc trưng bởi các mặt yên ngựa). Giới toán học đã dày công nghiên cứu $L(2)$ trong ít nhất hai thế kỷ, nhưng chưa ai chứng minh được nó vô tỉ — cho tới khi nhóm nghiên cứu của Frank Calegari xuất hiện.

Phá vỡ giới hạn: Vượt ra ngoài hình đĩa giải tích phức

Frank Calegari cùng Vesselin Dimitrov (Viện Công nghệ California) và Yunqing Tang (Đại học California, Berkeley) đã chỉ ra cách mở rộng phương pháp Apéry thành một công cụ giải tích mạnh mẽ hơn nhiều. Nhờ đó, họ đã xác lập tính vô tỉ cho một tập hợp vô hạn các giá trị tương tự zeta. Jean-Benoît Bost từ Đại học Paris-Saclay gọi phát hiện này là “một bước đột phá rõ ràng trong lý thuyết số”.

Giới chuyên môn hào hứng bởi cách tiếp cận này từng được nhóm dùng vào năm 2021 để giải quyết giả thuyết 50 năm tuổi về các dạng modular. François Charles từ École Normale Supérieure ở Paris nhận định: “Có lẽ bây giờ chúng ta đã có đủ công cụ để đẩy chủ đề này đi xa hơn nhiều so với những gì trước đây nghĩ là có thể. Đây là một thời điểm rất thú vị”. Công trình mới đã đặt phương pháp của Apéry vào một khung lý thuyết rộng lớn, giúp giới nghiên cứu dễ dàng kế thừa thay vì cảm giác phép màu rơi từ hư vô.

Để xây dựng dãy phân số loại trừ các mẫu số lớn, chiến lược ưa thích là đóng gói dãy số đó vào một chuỗi lũy thừa như $3 + 2x + 7x^2 + 4x^3 + \\dots$. Việc chứng minh các mẫu số bị loại trừ tiến ra vô cùng tương đương với việc chứng minh các hệ số của chuỗi lũy thừa tiến dần về số không.

Để kiểm soát điều này, các nhà toán học xem xét các giá trị phức cho biến số $x$. Xuất phát từ số 0 trên mặt phẳng phức, ta thổi phồng một hình đĩa tròn cho đến khi chạm vào số phức đầu tiên làm chuỗi lũy thừa bùng nổ — gọi là điểm kỳ dị. Nếu bán kính đĩa đủ lớn, các hệ số sẽ thu nhỏ đủ nhanh để khẳng định con số đó là vô tỉ.

Với $L(2)$, cái đĩa này lại quá nhỏ hẹp. Nhưng Calegari, Dimitrov và Tang đã thấy lối thoát: điểm kỳ dị không nhất thiết phải là điểm dừng cuối cùng. Khi chỉ có vài điểm kỳ dị cô lập rải rác trên biên, ta có thể thổi phồng hình đĩa thành vùng lớn hơn, khéo léo lách qua các điểm kỳ dị — điều Calegari gọi là “cuộc sống tuyệt vời bên ngoài hình đĩa”.

Sau bốn năm, họ sử dụng cách tiếp cận này để chứng minh dứt khoát $L(2)$ là số vô tỉ. Bost gọi đây là “chứng minh mà Riemann từng bỏ lỡ”. Kết quả không dừng ở $L(2)$, mà còn áp dụng cho vô số biến thể khác của $\\zeta(2)$ có tử số lặp lại theo chu kỳ 3 số, cùng một tập hợp số tạo từ tích các logarit — vốn từng bị coi là “hoàn toàn nằm ngoài tầm với”.

Mục tiêu tiếp theo trong tầm ngắm của họ là “hằng số Catalan” với quy luật tử số $1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0 \\dots$ được nghiên cứu hơn 150 năm. Sau bao nhiêu năm nhìn qua màn sương mù, các nhà toán học cuối cùng đã bắt đầu nhận ra rõ ràng các cột mốc trên trục số thực.

Ý nghĩa thực tiễn và chiều sâu triết học của các hằng số toán học

Hành trình tìm kiếm tính vô tỉ không chỉ thỏa mãn sự tò mò thuần túy mà còn liên hệ mật thiết tới nền tảng khoa học hiện đại. Trong vật lý lượng tử, giá trị hàm zeta và hàm L xuất hiện tất yếu khi tính toán các giản đồ Feynman mô tả tương tác hạt cơ bản; việc làm rõ tính chất vô tỉ giúp loại bỏ các phép tính sai lệch và chuẩn hóa mô hình vật lý hạ nguyên tử. Đồng thời, trong lý thuyết mật mã và an toàn thông tin, cấu trúc phân bố không lặp lại của các số vô tỉ đóng vai trò nền móng để phát triển các hệ mật mã đường cong elliptic và mật mã hậu lượng tử, bảo vệ dữ liệu trước sức mạnh của các siêu máy tính tương lai. Việc thấu suốt các hằng số trên trục số thực vì thế vừa hoàn thiện nhận thức triết học về thế giới tự nhiên, vừa tạo dựng bệ đỡ vững chắc cho công nghệ thông tin tương lai.

Bài viết tham khảo Quanta Magazine (quantamagazine.org).