Sự ngẫu nhiên có thể giúp các bài toán trở nên dễ dàng hơn như thế nào

Trong thế giới của toán học, chúng ta thường tôn thờ logic, sự chính xác và những cấu trúc trật tự nghiêm ngặt. Toán học tồn tại để tìm kiếm quy luật trong một biển dữ liệu mênh mông, và chính nhờ việc thế giới này không hề ngẫu nhiên mà các nhà toán học mới có thể làm việc được. Tuy nhiên, một nghịch lý thú vị đang dần lộ diện: đôi khi, việc đưa sự ngẫu nhiên vào bài toán lại chính là “chiếc đũa thần” giúp biến những điều không thể thành có thể. Thay vì cố gắng bám trụ vào những quy tắc cứng nhắc, các nhà nghiên cứu nhận ra rằng sự hỗn loạn có thể làm giảm bớt gánh nặng tính toán và mở ra những lối đi tắt đầy bất ngờ. Từ việc chứng minh sự tồn tại của các vật thể hình học phức tạp đến việc giải mã các hoa văn trên bề mặt ngẫu nhiên, sự ngẫu nhiên không còn là kẻ thù của trật tự mà trở thành một công cụ mạnh mẽ. Bài viết này sẽ dẫn dắt bạn khám phá cách mà các thiên tài toán học đã “tung xúc xắc” để chế ngự những bài toán hóc búa nhất, chứng minh rằng trong toán học, sự lộn xộn đôi khi lại là chìa khóa của sự tinh tế.

Nghịch lý của sự ngẫu nhiên trong toán học

Trong số tất cả các công cụ có sẵn cho một nhà toán học, sự ngẫu nhiên dường như mang lại rất ít lợi ích. Toán học vốn dĩ là giao điểm của logic và sự chặt chẽ. Mục tiêu bao quát của nó là tìm ra trật tự và cấu trúc. Chính vì thế giới toán học không hề ngẫu nhiên mà toàn bộ nỗ lực nghiên cứu mới có thể thực hiện được.

Tuy nhiên, một nghiên cứu gần đây về các bề mặt ngẫu nhiên đã cho thấy một kết quả trái ngược: sự ngẫu nhiên lại tạo ra sự khác biệt mang tính quyết định. Kết quả nghiên cứu liên quan đến các hoa văn giống như bàn cờ được vẽ trên các không gian hình học được xây dựng một cách ngẫu nhiên. Các tác giả của chứng minh này nhận thấy rằng chính sự ngẫu nhiên trong không gian hình học đã giúp các hoa văn bàn cờ trở nên dễ mô tả hơn. “Thật bất ngờ khi việc thêm vào yếu tố ngẫu nhiên lại cho phép bạn làm được nhiều điều hơn so với khi không có nó,” Nicolas Curien, một nhà toán học tại Đại học Paris-Sud và là đồng tác giả của nghiên cứu, cho biết.

Đi tìm cây kim trong đáy bể bằng phương pháp xác suất

Hóa ra, sự ngẫu nhiên có ích trong toán học theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ, các nhà toán học thường muốn chứng minh rằng một đối tượng có tính chất nhất định tồn tại, chẳng hạn như một đối tượng hình học thể hiện các đối xứng đặc thù. Cách trực tiếp nhất để giải quyết các bài toán tồn tại này là tìm ra một ví dụ cụ thể về đối tượng đó.

Nhưng hãy chúc may mắn với điều đó, bởi vì như Martin Hairer – người đoạt huy chương Fields với các công trình về quá trình ngẫu nhiên – đã chia sẻ: “Việc chỉ ra một đối tượng cụ thể duy nhất có tính chất đang xét có thể là một thử thách cực kỳ khó khăn.”

Nếu một cuộc tấn công trực diện vào vấn đề khó có khả năng thành công, bạn có thể thử một cuộc tấn công từ bên sườn. Ví dụ, bạn có thể chỉ ra rằng nếu bạn xem xét tất cả các đối tượng của một loại nhất định, sau đó chọn ngẫu nhiên một trong số chúng, thì khả năng bạn chọn trúng một đối tượng có thuộc tính yêu cầu là lớn hơn $0\%$. “Phương pháp xác suất” (probabilistic method) này đã được tiên phong bởi nhà toán học vĩ đại Paul Erdős.

Sự tự do của những bước chân ngẫu nhiên

Sự ngẫu nhiên cũng có thể được sử dụng để tìm ra con đường dẫn đến một giải pháp phi ngẫu nhiên. Đây chính là trường hợp trong chứng minh gần đây về các hoa văn giống bàn cờ trên lưới. Các nhà nghiên cứu quan tâm đến một quá trình gọi là “thấm” (percolation), trong đó bạn muốn biết trong những điều kiện nào thì có thể di chuyển trên các điểm chỉ cùng một màu từ cạnh này sang cạnh kia của lưới.

Khi bạn vẽ một con đường như vậy theo các quy tắc xác định – dọc theo các đường cố định của một lưới đều đặn – mỗi bước tiếp theo trong con đường bị ràng buộc bởi mọi bước đã đi trước đó. Trong trường hợp của một lưới phức tạp, yêu cầu này trở thành một gánh nặng. Nó tương tự như việc những mảnh ghép đầu tiên trong trò chơi Tetris rất dễ đặt – bạn có thể để chúng ở bất cứ đâu – nhưng những mảnh sau đó khó khăn hơn nhiều vì chúng phải khớp với tất cả các mảnh bạn đã đặt xuống.

Tuy nhiên, khi con đường của bạn tiến hành một cách ngẫu nhiên, bạn không cần phải lo lắng về các bước trong quá khứ. Mỗi bước, theo một nghĩa nào đó, đều tự do như bước đầu tiên: Chỉ cần tung một đồng xu để quyết định nên đi đâu tiếp theo.

Công thức KPZ: Cầu nối giữa hai thế giới

Các nhà toán học cố gắng khai thác thực tế này thông qua một mối quan hệ mang tính giả thuyết được gọi là công thức $KPZ$. Công thức này hướng dẫn các nhà toán học cách chuyển đổi một kết quả từ lưới ngẫu nhiên thành kết quả cho lưới xác định, và ngược lại.

“Về mặt lý thuyết, điều đó có nghĩa là bạn tự do tính toán trên cả hai phía: ngẫu nhiên hoặc xác định,” Olivier Bernardi, một nhà toán học tại Đại học Brandeis, cho biết. Công trình mới này nhất quán với các kết quả trước đây (vốn khó chứng minh hơn nhiều) về sự thấm trên một lưới đều đặn, từ đó xác thực giá trị của công thức $KPZ$.

Tại sao chúng ta cần đến sự ngẫu nhiên?

Nếu toán học dễ dàng hơn, các nhà toán học có lẽ sẽ không cần phải viện đến sự ngẫu nhiên. Nhưng hầu hết các câu hỏi toán học quan trọng đều quá khó để trả lời trực tiếp. Paul Bourgade, một nhà toán học tại Đại học New York, nhận định: “Đó là một điều hiển nhiên nhưng cần phải ghi nhớ: phần lớn thời gian, nếu bạn đưa ra một vấn đề trong toán học hoặc vật lý lý thuyết, nó gần như là bất khả thi. Chúng ta đơn giản là không có công cụ để giải quyết nó.”

Trong một số tình huống như vậy, chính sự ngẫu nhiên đã nới lỏng các ràng buộc vừa đủ để biến một giải pháp từ không thể thành có thể. Nó cho phép các nhà khoa học tiếp cận vấn đề từ một góc nhìn linh hoạt hơn, nơi những quy luật khắt khe được thay thế bằng những xác suất đầy hứa hẹn.