Bất đẳng thức Bunhiacopxki: một dòng ngắn, ba cái tên

Trong các kỳ thi học sinh giỏi toán, có một cái tên mà thí sinh nào cũng thuộc nằm lòng: Bunhiacopxki. Chỉ cần thấy tổng các bình phương nhân với nhau, phản xạ đầu tiên là nghĩ ngay tới nó. Nhưng ít ai để ý rằng đằng sau cái tên khó đọc ấy còn hai cái tên nữa — Cauchy và Schwarz — và mỗi nước lại gọi bất đẳng thức này một kiểu khác nhau.

Bài viết này kể câu chuyện của một bất đẳng thức “một dòng”: nó từ đâu mà có, vì sao nó đúng theo ít nhất hai cách khác nhau, và vì sao chỉ một dòng ngắn như vậy lại xuất hiện từ phòng thi học sinh giỏi đến tận thống kê hiện đại.

Ba cái tên của một bất đẳng thức

Câu chuyện bắt đầu năm 1821, khi Augustin-Louis Cauchy trong giáo trình Cours d’analyse chứng minh rằng với mọi số thực $a_1, a_2, \dots, a_n$ và $b_1, b_2, \dots, b_n$:

$$(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2 \le (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2).$$

Gần bốn mươi năm sau, năm 1859, nhà toán học Nga Viktor Bunyakovsky — người từng du học toán ở Paris những năm 1820, cùng thời với Cauchy — mở rộng kết quả này cho tích phân:

$$\left(\int fg\right)^2 \le \int f^2 \cdot \int g^2.$$

Đây là bước nhảy từ rời rạc sang liên tục: thay tổng hữu hạn bằng tích phân, bất đẳng thức vẫn đúng nguyên vẹn. Đến năm 1888, Hermann Schwarz đưa ra chứng minh hiện đại, gọn gàng mà ngày nay vẫn dùng.

Vì lịch sử “ba chặng” này mà mỗi nơi gọi một tên: phương Tây quen gọi bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, nước Nga gọi bất đẳng thức Bunyakovsky, còn ở Việt Nam — chịu ảnh hưởng của sách toán Nga–Xô Viết — ta quen gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki. Ba tên, một bản chất.

Phát biểu đầy đủ

Dạng tổng quát nhất mà ta thường gặp viết cho không gian tích trong (không gian vector có tích vô hướng): với mọi $u, v$,

$$|\langle u, v\rangle| \le \|u\|\cdot\|v\|.$$

Khi $u = (a_1,\dots,a_n)$ và $v = (b_1,\dots,b_n)$ trong $\mathbb{R}^n$, ta thu lại dạng tổng quen thuộc. Khi “vector” là các hàm số với tích trong $\langle f,g\rangle = \int fg$, ta thu lại dạng tích phân của Bunyakovsky. Một công thức, hai thế giới.

Đẳng thức xảy ra khi hai đối tượng tỉ lệ với nhau: $(a_i)$ tỉ lệ với $(b_i)$, hay $u$ cùng phương với $v$.

Hai chứng minh đẹp

Cách 1: tam thức bậc hai. Xét biểu thức phụ thuộc tham số thực $t$:

$$P(t) = (a_1t+b_1)^2 + (a_2t+b_2)^2 + \cdots + (a_nt+b_n)^2.$$

Rõ ràng $P(t) \ge 0$ với mọi $t$, vì nó là tổng các bình phương. Khai triển ra, $P(t)$ là một tam thức bậc hai:

$$P(t) = At^2 + 2Bt + C,$$

trong đó $A = a_1^2+\cdots+a_n^2$, $B = a_1b_1+\cdots+a_nb_n$, $C = b_1^2+\cdots+b_n^2$.

Một tam thức bậc hai không âm với mọi $t$ thì biệt thức của nó không thể dương:

$$\Delta’ = B^2 – AC \le 0.$$

Thay $A, B, C$ trở lại, ta được đúng bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $P(t) = 0$ có nghiệm — tức là tồn tại $t$ sao cho $a_it + b_i = 0$ với mọi $i$, hay hai bộ số $(a_i)$ và $(b_i)$ tỉ lệ với nhau.

Cách 2: chuẩn hóa rồi dùng AM–GM. Đặt $A = \sum a_i^2$, $B = \sum b_i^2$. Nếu $A = 0$ thì mọi $a_i = 0$, bất đẳng thức hiển nhiên. Ngược lại, chuẩn hóa $x_i = \frac{a_i}{\sqrt{A}}$, $y_i = \frac{b_i}{\sqrt{B}}$, khi đó $\sum x_i^2 = \sum y_i^2 = 1$. Theo AM–GM, $2x_iy_i \le x_i^2 + y_i^2$ với mọi $i$; cộng tất cả lại:

$$2\sum x_iy_i \le \sum x_i^2 + \sum y_i^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad \sum x_iy_i \le 1.$$

Tức là $\frac{\sum a_ib_i}{\sqrt{A}\sqrt{B}} \le 1$. Áp dụng lập luận tương tự cho bộ $(-a_i)$ ta được chiều ngược lại, suy ra $|\sum a_ib_i| \le \sqrt{A}\sqrt{B}$ — chính là điều cần chứng minh. Đẳng thức khi $x_i = y_i$ với mọi $i$, tức hai bộ số tỉ lệ.

Hai cách chứng minh soi hai mặt của cùng một sự thật: cách một dựa vào “bình phương không bao giờ âm”, cách hai dựa vào “trung bình nhân không vượt trung bình cộng”.

Nhìn bằng con mắt hình học

Bất đẳng thức này còn có một khuôn mặt khác, trực quan hơn nhiều. Với hai vectơ $u$ và $v$ trong mặt phẳng, tích vô hướng của chúng là:

$$u \cdot v = |u|\,|v|\cos\theta,$$

trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ. Vì $|\cos\theta| \le 1$ nên:

$$|u \cdot v| \le |u|\,|v|.$$

Viết ra theo tọa độ, ta lại thu được đúng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Thực chất, nó chỉ là cách viết bằng đại số của một sự thật hình học hiển nhiên: hình chiếu của một vectơ lên hướng khác không bao giờ dài hơn chính nó.

Đẳng thức xảy ra khi $|\cos\theta| = 1$, tức hai vectơ cùng phương (cùng hướng hoặc ngược hướng) — khớp với điều kiện “tỉ lệ” ở trên.

Năm ứng dụng kinh điển

1. Tìm giá trị nhỏ nhất. Cho $x + y = 1$, tìm giá trị nhỏ nhất của $x^2 + y^2$.

Áp dụng Bunhiacopxki: $(x^2+y^2)(1^2+1^2) \ge (x+y)^2 = 1$, suy ra $x^2+y^2 \ge \frac{1}{2}$. Đẳng thức khi $x = y = \frac{1}{2}$. Một bài toán tưởng cần đạo hàm hay biến đổi khéo, hóa ra chỉ một dòng.

2. Dạng Engel (dạng phân thức). Với $x, y > 0$:

$$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y}.$$

Chứng minh: viết $a = \frac{a}{\sqrt{x}}\cdot\sqrt{x}$, $b = \frac{b}{\sqrt{y}}\cdot\sqrt{y}$ rồi áp dụng Bunhiacopxki cho hai cặp $\left(\frac{a}{\sqrt{x}},\frac{b}{\sqrt{y}}\right)$ và $(\sqrt{x},\sqrt{y})$. Dạng này xuất hiện dày đặc trong các bài bất đẳng thức thi học sinh giỏi — và đẳng thức xảy ra khi $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$.

3. Tìm giá trị lớn nhất. Biết $x^2 + y^2 = 25$, tìm giá trị lớn nhất của $3x + 4y$.

$(3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(x^2+y^2) = 25 \cdot 25 = 625$, nên $3x+4y \le 25$. Đẳng thức khi $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$, kết hợp $x^2+y^2 = 25$ cho $x = 3$, $y = 4$ — kiểm tra lại: $3\cdot 3 + 4\cdot 4 = 25$. Vừa khít.

4. Hệ số tương quan không bao giờ vượt quá 1. Đây có lẽ là ứng dụng bất ngờ nhất. Trong thống kê, hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên $X, Y$ thỏa mãn:

$$|\mathrm{Cov}(X,Y)| \le \sigma_X \sigma_Y,$$

đây chính là Bunhiacopxki áp dụng cho “tích trong” $\langle X,Y\rangle = \mathbb{E}[XY]$. Hệ quả mà dân phân tích dữ liệu dùng hằng ngày: hệ số tương quan $r = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$ luôn nằm trong $[-1, 1]$.

Thử với số liệu cụ thể: ba cặp $(1,2), (2,3), (3,5)$. Trung bình $\bar{X} = 2$, $\bar{Y} = \frac{10}{3}$. Hiệp phương sai $\mathrm{Cov} = \frac{(-1)(-4/3) + 0 + (1)(5/3)}{3} = 1$. Độ lệch chuẩn $\sigma_X = \sqrt{2/3} \approx 0{,}817$, $\sigma_Y = \sqrt{14/9} \approx 1{,}247$, tích $\sigma_X\sigma_Y \approx 1{,}018$. Quả nhiên $1 \le 1{,}018$, và hệ số tương quan $r \approx 0{,}982$ — gần 1, phản ánh ba điểm gần như thẳng hàng.

5. Bất đẳng thức tam giác cho vectơ (Minkowski). Với mọi số thực $a, b, c, d$,

$$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \ge \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2},$$

chứng minh được bằng cách bình phương hai vế rồi dùng Bunhiacopxki cho phần chéo. Thử số: $a=3, b=4, c=1, d=1$ cho vế trái $5 + \sqrt{2} \approx 6{,}41$, vế phải $\sqrt{41} \approx 6{,}40$. Đây chính là “đường thẳng là đường ngắn nhất” viết bằng đại số.

Cạm bẫy thường gặp

Dùng nhiều mà dùng ẩu thì vẫn sai. Ba lỗi phổ biến nhất:

Quên điều kiện của dạng Engel. Công thức $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y}$ chỉ đúng khi $x, y > 0$ (vì chứng minh đã chia cho $\sqrt{x}, \sqrt{y}$). Mẫu âm hoặc bằng 0 là công thức sụp đổ.

Quên kiểm tra dấu đẳng thức. Tìm được chặn trên/chặn dưới rồi kết luận giá trị lớn nhất/nhỏ nhất mà không kiểm tra điều kiện tỉ lệ có thỏa mãn không — có khi chặn đó không bao giờ đạt được, kết luận trở thành sai.

Nhầm chiều bất đẳng thức. Bunhiacopxki cho chặn trên của $|\sum a_ib_i|$ (không vượt quá $\sqrt{A}\sqrt{B}$), chứ không cho chặn dưới. Viết ngược chiều là lỗi mà ngay cả học sinh giỏi cũng mắc khi làm nhanh.

Thay lời kết

Từ một dòng trong giáo trình của Cauchy năm 1821, qua mở rộng của Bunyakovsky, đến chứng minh của Schwarz — bất đẳng thức này đã đi một chặng đường dài để trở thành công cụ “quốc dân”: từ phòng thi học sinh giỏi, qua hình học vectơ, đến tận hệ số tương quan trong thống kê. Lần tới khi dùng nó, bạn sẽ biết mình đang gọi tên ai — và vì sao một dòng ngắn lại có sức mạnh đến vậy.

Xem thêm: Hằng đẳng thức Sophie Germain và ứng dụng — một hằng đẳng thức kinh điển khác cũng hay xuất hiện cạnh Bunhiacopxki trong các bài toán.

Bài viết cho bạn của Toán Khó. Nếu muốn bài viết về chủ đề nào, hãy liên hệ với chúng mình nhé!